9
Алгоритми Маркова
Зміст
- Вступ 3
-
- 1. Побудова алгоритмів з алгоритмів 4
- Висновки 8
- 2. Нормальні Алгоритми Маркова. Побудова алгоритмів з алгоритмів 9
- Список літератури 13
Вступ
В 1956 році вітчизняним математиком А.А. Марковим було запропоновано нове уточнення поняття алгоритму, яке пізніше названий його імям.
В цьому уточненні виділені нами 7 параметрів були визначено таким чином:
Сукупність початкових даних - слова в алфавіті S;
Сукупність можливих результатів - слова в алфавіті W;
Сукупність можливих проміжних результатів - слова в алфавіті
Р=SWV, де V - алфавіт службових допоміжних символів.
Дії:
Дії мають вигляд або , або , де , P*, де
P* - безліч слів над алфавітом Р, і називається правилом підстановки. Значення цього правила полягає в тому, що оброблюване слово є видимим зліва направо і шукається входження в нього слова .
1. Побудова алгоритмів з алгоритмів
Дотепер, будуючи той або інший МТ, або НАМ ми кожного разу всі робили наново. Природно задати питання, а чи не можна при побудові, наприклад, нової МТ користуватися вже побудованою раніше МТ.
Наприклад, МТ3 з прикладу 3
U3((n) 1) =(n) 10
по суті є належним чином зєднані МТ для U1(n) =n+1 і U2((n) 1) =(n-1) 1.
Аналогічне питання можна сформулювати для НАМ. Іншими словами чи можна акумулювати знання у формі алгоритмів так, щоб з них можна було будувати інші алгоритми.
Ми розглянемо цю проблему стосовно МТ. Проте всі сформульовані нами твердження будуть справедливі і для НАМ і для інших еквівалентних уточнень поняття алгоритму. Еквівалентність уточнень поняття алгоритму ми розглянемо пізніше.
Визначення 3.2. Говоритимемо, що МТ1 можна ефективно побудувати з МТ2 і МТ3 якщо існує алгоритм, який дозволяє, маючи програму для МТ2 і МТ3, побудувати програму для МТ3.
Визначення 3.3. Послідовною композицією МТ А і В називається така МТ З, що
область застосовності МТ А і Із співпадають;
C() =B(A()).
Іншими словами, застосування З до слова дає такий же результат, як послідовне застосування до цього ж слова спочатку А, а потім до результату застосування А - В.
Послідовну композицію МТА і МТВ позначатимемо АВ.
Теорема 3.1. Хай дані МТ А і В, такі, що В застосовна до результатів роботи А і QAQB=.
Тоді можна ефективно побудувати МТ З таку, що С= АВ.
Доказ.
Як алфавіт даних і безлічі станів для МТС візьмемо обєднання алфавітів даних і безлічі станів для А і В, тобто
DC=DADВ, QC= QAQB
В програмі для А всі правила p! , де ,DA* {Л, П, Н} замінимо на pqoB, де qoB QB - початковий стан для В. Это забезпечить включення У в той момент, коли А свою роботу закінчила і не раніше, оскільки QAQB=.
Що і т.д.
Табличний запис програми для З показана на малюнку 3.3
Рис 3.3. Структура табличного запису програм для Машини З.
Означення. Паралельною композицією Машин Тюрінга А і В назвемо таку Машину З, для якої:
DC=DADB
QC=QAQB
C(||) =A(||) B=B(||) A=A() ||B().
З цього визначення видно, що порядок застосування МТА і МТВ не впливає на результат. Він буде таким же неначебто ми незалежно застосували А до слова , а В до слова .
Теорема 3.2 Для будь-яких МТ А і МТ В можна ефективно побудувати МТ З таку, що С=А||В
Обгрунтовування. Ми не даватимемо тут строго доказу з причини його технічної складності. Покажемо лише обгрунтовування правильності затвердження теореми. Позначимо DC=DADB; QC=QAQB.
Основна проблема: як гарантувати щоб А не торкнулася слова , а В - слово . Для цього введемо в алфавіт DС символ ||. Додамо для всіх станів qiQC таких, що qiQA правила вигляду ||qi||qiЛ, тобто каретка машини А буде, натикаючись на символ ||, йти вліво. Відповідно для всіх qjQC таких, що qjQB додамо правила вигляду ||qj||qjП, тобто каретка машини В йтиме управо. Тим самим ми як би обмежуємо стрічку для А справа, а для В зліва.
Істотним тут є питання: чи не виявляться обчислювальні можливості Машини Тюрінга з напівстрічкою слабіше, ніж обчислювальні можливості Машини Тюрінга з повною стрічкою?
Виявляється справедливо наступне твердження: безліч алгоритмів, реалізовуваних МТ з напівстрічкою, еквівалентно безлічі алгоритмів, реалізовуваних МТ з повною стрічкою. Позначимо Ф(Р) Машину Тюрінга, що реалізовує алгоритм, що розпізнає:
Теорема 3.3 Для будь-яких Машин Тюрінга А, В і Ф, мають один і той же алфавіт S, може бути ефективно побудований машина З над тим же алфавітом S, така що
Доказ.
Позначимо: E(Р) тотожну машину, тобто Е(Р) =Р
СМІТТЮ(Р) копіюючу машину, тобто СМІТТЮ(Р) =Р||Р
де ||S.
BRANCH(P) - ця машина переходить або в стан р1, або в змозі ро. Її програма складається з 4-х команд:
1qo1р1П
||р1||р1П
0qo0роП
||ро||роП
Побудуємо машину
Ця машина будується по наступній формулі:
Згідно теоремам 3.1 і 3.2., ми можемо побудувати машину, знаючи Е, Ф і СМІТТЮ. Тепер, маючи, BRNCH, А і В, можна побудувати машину З таким чином:
Машина BRANCH закінчує свою роботу або в стані р1, якщо слово P володіє потрібною властивістю, або в змозі ро, знаходячись на початку слова P. Тому, якщо прийняти у машини А стан р1, як початкове, а у машини В стан ро, як початкове, то машина А буде включений за умови, що Ф(Р) =1, а машина В буде включений, якщо Ф(Р) =0.
Правило композиції, визначуване цією теоремою записуватимемо, якщо Ф то А інакше В.
Теорема 3.4 Для будь-яких машин А і Ф можна ефективно побудувати машину L таку, що
L(P) ={ Поки Ф(Р) =1, застосовуй А }
Доказ: Замінимо в доведенні теореми 3.3 машину В машиною Е, а заключний стан в машині В замінимо на початковий стан в машині . У результаті отримаємо потрібний результат.
Теорема 3.5 (Бомм, Джакопіні, 1962)
Будь-яка Машина Тюрінга може бути побудований за допомогою операції композицій ||, якщо Ф, то А інакше В, поки Ф застосовуй А.
Цю теорему ми даємо тут без доказу.
Слідство 3.1 Через Тезу Тюрінга, будь-яка інтуїтивно обчислювана функція може бути запрограмований в термінах цих операцій.
Слідство 3.2 Ми отримали щось подібне до мови, на якій можна описувати нову Машину Тюрінга, використовуючи описи вже існуючих, а потім, використовуючи теореми 3.1 - 3.4, побудувати її функціональну схему.
Слідство 3.3 Алгоритм - це конструктивний обєкт. У разі Машини Тюрінга атомарними обєктами є команди, а теорема 3.5 визначає правила композиції.
Висновки
Алгоритм - конструктивний обєкт;
Алгоритм можна будувати з інших алгоритмів;
||, if_then_else, while_do - універсальний набір дій по управлінню обчислювальним процесом.
2. Нормальні Алгоритми Маркова. Побудова алгоритмів з алгоритмів
Означення 3.1. Слово називається входженням в слово , якщо існують такі слова і над тим же алфавітом, що і і , для яких вірно: =.
Якщо входження в знайдено, те слово замінюється на слово .
Всі правила постановки упорядковуються. Спочатку шукається входження для першого правила підстановки. Якщо воно знайдено, то відбувається підстановка і перетворюване слово знову є видимим зліва направо у пошуках входження. Якщо входження для першого правила не знайдено, то шукається входження для другого правила і т.д. Якщо входження знайдено для i-го правила підстановки, то відбувається підстановка, і проглядання правил починається з першого, а слово є видимим спочатку і зліва направо.
Вся сукупність правил підстановки називається схемою алгоритму.
Правило початку - проглядання правил завжди починається з першого.
Правило закінчення - виконання алгоритму закінчується, якщо:
було застосовано правило підстановки вигляду ,
не застосовно жодне правило підстановки з схеми алгоритму.
Правило розміщення результату - слово, отримане після закінчення виконання алгоритму.
Розглянемо приклад 1 з лекції 2:
побудувати алгоритм для обчислення
U(n) =n+1;
S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}; S=W; V={*,+}.
Схема цього НАМ показана на малюнку 1.1
|
|
Перегонимо службовий символ * в кінець слова n, щоб відзначити останню цифру молодших розрядів.
Збільшуємо на одиницю, починаючи з цифрами молодших розрядів.
|
|
|
Вводимо службовий символ * в слово, щоб їм відзначити останню цифру в слові.
|
|
|
Рис.1.1 Схема НАМ для обчислення U1(n) =n+1
Неважко зміркувати, що складність цього алгоритму, виражена в кількості виконаних правил підстановки, буде рівна:
(k+1) +(l+1)
де до - кількість цифр в n, l - кількість 9, які були збільшені на 1.
Але у будь-якому випадку складність НАМ для U1(n) більше складності Машини Тюрінга для цієї ж функції, яка дорівнювала k+1.
Зверніть увагу, що у НАМ порядок проходження правил підстановки в схемі алгоритму істотно впливає на результат, тоді як для МТ він не существенен.
Побудуємо НАМ для прикладу 2 з лекції 2:
побудувати алгоритм для обчислення
U2((n) 1) =(n-1) 1
Отже, S={|}; W=S; V=, тобто порожньо.
|
Складність цього алгоритму рівна 1, тоді як складність алгоритму для Машини Тюрінга дорівнювала n.
Тепер побудуємо НАМ:
побудувати алгоритм для обчислення
U3((n) 1) =(n) 10
S={|}; W={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}; V=
Схема цього алгоритму приведена на малюнку 3.2
1|2
2|3
3|4
4|5
5|6
6|7
7|8
8|9
9||0
|010
0|1
|0|
Мал.1.2 Схема НАМ для обчислення U3((n) 1) =(n) 10.
Складність цього НАМ буде n+ [log10n], що істотно менше за складність для Машини Тюрінга, що обчислює цю функцію, яка дорівнювала n2+ [log10n(log10n+1)].
Реалізацію функції U4 порівняння двох цілих чисел залишаємо читачу як вправа.
Зауваження: початкове слово треба задати у формі *
Для нормальних алгоритмів Маркова справедлива теза, аналогічна тезі Тюрінга.
Теза Маркова: Для будь-якої інтуїтивно обчислюваної функції існує алгоритм, що її обчислює.
Список літератури
1. Джон Хопкрофт, Раджів Мотані, Джеффрі Ульман РОЗДІЛ 8. Введення в теорію машин Тюрінга // Введення в теорію автоматів, мов і обчислень. - М., 2002. - С528.
|
