Задача 17.
Определите среднюю урожайность картофеля в регионе по данным о:
а) посевной площади и валовом сборе;
б) посевной площади и урожайности;
в) валовом сборе и урожайности.
Объясните, как определена форма средней величины.
|
|
Область
|
Посевная площадь, тыс.га
|
Валовой сбор,
тыс. т
|
Урожайность,
ц/га
|
|
|
А
|
139,80
|
2055
|
147
|
|
|
Б
|
102,34
|
1484
|
145
|
|
|
В
|
63,29
|
981
|
155
|
|
|
а) при определении средней урожайности картофеля в регионе по данным о посевной площади и валовом сборе используем формулу средней арифметической
w (x*f) - валовый сбор;
fi - площадь.
Х ср =(20550+14840+9810 )/ (139,80+102,34+63,29)= 148
б) по данным по посевной площади и урожайности используем формулу средней арифметической взвешенной:
xi -урожайность по области;
fi - посевная площадь по области.
Х ср =(139,80*147+102,34*145+63,29*155)/(139,80+102,34+63,29)= 148
в) по данным о валовом сборе и урожайности используем среднюю гармоническую взвешенную:
хi - урожайность;
w - валовый сбор.
Х ср =(20550+14840+9810 )/(20550/147+14840/145+9810/155) = 148
Задача 27.
В целях изучения затрат времени на изготовление одной детали рабочими завода проведена 10%-ная случайная бесповторная выборка, в результате которой получено следующее распределение деталей по затратам времени:
|
|
Затраты времени на одну деталь, мин.
|
Число деталей, шт.
|
|
|
До 20
|
10
|
|
|
От 20 до 24
|
20
|
|
|
От 24 до 28
|
50
|
|
|
От 28 до 32
|
15
|
|
|
Свыше 32
|
5
|
|
|
Итого
|
100
|
|
|
1. На основании этих данных вычислите: средние затраты времени на изготовление одной детали, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.
2.С вероятностью 0,954 определить:
а) предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидаются средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе;
б) необходимую численность выборочной совокупности, чтобы предельная ошибка выборки при определении средних затрат времени не превышала 1 минуты.
Решение:
Для расчетов составим таблицу.
|
|
Затраты времени на одну деталь, мин., х i
|
Середина интервала
|
Число деталей,
fi
|
х i*fi
|
(xi- xср)
|
(xi- xср)2
|
(xi- xср)2* fi
|
|
|
До 20
|
10
|
18
|
180
|
-7,3
|
53,29
|
532,9
|
|
|
20 - 24
|
20
|
22
|
440
|
-3,3
|
10,89
|
217,8
|
|
|
24 - 28
|
50
|
26
|
1300
|
0,7
|
0,49
|
24,5
|
|
|
28 - 32
|
15
|
30
|
450
|
4,7
|
22,09
|
331,35
|
|
|
Свыше 32
|
5
|
32
|
160
|
6,7
|
44,89
|
224,45
|
|
|
Итого
|
100
|
|
2530
|
|
131,65
|
1331
|
|
|
1) средние затраты времени на изготовление одной детали рассчитаем по формуле средней арифметической взвешенной, предварительно выбрав середину интервала веса:
=2530/100= 25,3
Средние затраты времени на изготовление одной детали составили 25,3 мин.
2) дисперсию и среднее квадратическое отклонение рассчитаем по формулам:
- дисперсия
у2 = ((xi- xср)2* fi) / У fi
у2 = 1331/100 =13,31
- среднее квадратическое отклонение
у = ?у2 = v 13,31 = 3,65
3) коэффициент вариации рассчитаем по формуле
н = у / хср *100%
н = 3,65/ 25,3 * 100 = 14 (%)
н = 14 %
Коэффициент вариации показывает однородность выборки. Если он ниже 35%, выборка однородная, как и в данном случае.
4) Рассчитаем с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидаются средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе. Используем для расчета формулу средней ошибки выборочной средней
м х = v у2х /n (1-n/N),
где у2х - дисперсия изучаемого признака,
n - численность выборки,
N - число единиц в генеральной совокупности,
n/N = 0,1 (десятипроцентное).
м х = v у2х /n (1-n/N) = v13,31/ (100*(1-0,1)) = 0,3
Предельная ошибка выборки рассчитывается по формуле
? х = t * м х,
где t - коэффициент доверия, при вероятности 0,954 равен 2
? х = t * м х = 2*0,3= 0,6
Итак, средние затраты времени на изготовление одной детали находится в пределах
хср±? х, или 25,3 ± 0,6 или от 24,7 до 25,9 мин.
б) необходимую численность выборочной совокупности, чтобы
предельная ошибка выборки при определении средних затрат времени не
превышала 1 минуты, рассчитаем по формуле:
n = ( 22*13,312*1000) / ( 12 * 1000+22*13,312) = 414
Численность выборочной совокупности, где предельная ошибка выборки при определении средних затрат времени не превышает 1 минуты составит 414 деталей.
Задача 37.
Имеются данные о среднедушевых доходах населения области за 1993-2002 гг. (тыс. руб.) в сопоставимых ценах:
|
|
Год
|
1993
|
1994
|
1995
|
1996
|
1997
|
1998
|
1999
|
2000
|
2001
|
2002
|
|
|
Доход ы
|
100
|
117
|
128
|
154
|
163
|
150
|
132
|
144
|
158
|
164
|
|
|
Требуется выявить основную тенденцию среднедушевых доходов населения области 1993-2002 гг.:
1) методом сглаживания рядов динамики с помощью скользящей трехзвенной средней;
2) методом аналитического выравнивания ряда динамики по уравнению прямой;
3) Используя результаты п.2, дайте прогноз на 2003 год.
4) Охарактеризуйте за 1993-2002 гг. среднегодовой абсолютный прирост и темп прироста доходов.
Решение.
1) выявим тенденцию методом сглаживания рядов динамики с помощью скользящей трехзвенной средней по формуле:
|
|
Год
|
1993
|
1994
|
1995
|
1996
|
1997
|
1998
|
1999
|
2000
|
2001
|
2002
|
|
|
Доходы
|
100
|
117
|
128
|
154
|
163
|
150
|
132
|
144
|
158
|
164
|
|
|
|
115
|
133
|
148
|
156
|
148
|
142
|
145
|
155
|
|
|
|
2) выявим тенденцию методом аналитического выравнивания ряда динамики по уравнению прямой вида:
=а+ b*t
Произведем необходимые вычисления в таблице, обозначив время t.
|
|
t
|
У
|
t*У
|
t2
|
|
|
|
1
|
100
|
100
|
1
|
91
|
|
|
2
|
117
|
234
|
4
|
100
|
|
|
3
|
18
|
54
|
9
|
109
|
|
|
4
|
154
|
616
|
16
|
117
|
|
|
5
|
163
|
815
|
25
|
126
|
|
|
6
|
150
|
900
|
36
|
134
|
|
|
7
|
132
|
924
|
49
|
143
|
|
|
8
|
144
|
1152
|
64
|
151
|
|
|
9
|
158
|
1422
|
81
|
160
|
|
|
10
|
164
|
1640
|
100
|
169
|
|
|
ИТОГО
|
55
|
1300
|
7857
|
385
|
1300
|
|
|
среднее
|
5,5
|
130,0
|
785,7
|
38,5
|
|
|
|
Решим систему уравнений вида:
а* n+ b ? t= ?у
а? t+ b ? t2 = ?у* t
Подставим рассчитанные значения
10 *а +b*55 = 1300
a*55+b*385 =7857
Рассчитаем параметры а, b по формулам
b=
а = ;
b =(10*7857-55*1300)/(10*385-55*55)= 8,5697
а = 130-8,5697*5,5 = 82,8667
Рассчитанное уравнение регрессии имеет вид
Уt = 82,8667+8,5697*t
Для проверки его правильности рассчитаем выравненные значения у.
?=? у, следовательно, уравнение рассчитано верно.
Представим графически полученные выше расчеты.
Прогноз на 2003 год составит:
У11 = 82,8667+8,5697*11=177
4) Среднегодовой абсолютный прирост за 1993-2002 гг. рассчитаем по формуле:
?ср = (Уn-У1) / (n-1)
?ср = (164-100)/9= 7
Среднегодовой темп роста рассчитаем по формуле
n -1________
Тр (ср) =v Yi /Y1 *100%
10 -1________
Тр (ср) =v 164 /100 *100% = 105,1
Задача 47.
Имеются следующие данные:
|
|
Товар
|
Цена за 1 кг в
базисном периоде, руб.
|
Продано, т
|
Индивидуальные индексы цен
|
|
|
|
Базисный период
|
Отчетный период
|
|
|
|
А
|
0,50
|
1200
|
1500
|
1,01
|
|
|
Б
|
1,20
|
4200
|
6300
|
0,85
|
|
|
В
|
2,45
|
2000
|
2500
|
0.97
|
|
|
Рассчитайте:
а) индекс физического объема реализации;
б) индекс цен и индекс товарооборота.
Разложите общую сумму прироста товарооборота по факторам. Сделайте выводы.
Вычислим:
а) индекс физического объема реализации по формуле
= 1350/1312,5=1,029, или 102,9 %
Уpq = (0,5*1500+6300*1,2+2500*2,45)/(1200*0,5+4200*1,2+2000*2,45)=
=14435/10540=1,3695
Физический объем реализации увеличился на 36,95 %.
б) Индекс цен рассчитаем по формуле
Y р = ? р0q1*iр / ? р0q1
Y р = (0,5*1500*1,01+6300*1,2*0,85+2500*2,45*0,97)/(1500*0,5+6300*1,2+2500*2,45)
=13125/14435 = 0,909, или 90,9%
В среднем цены снизились на 9,1 %.
Индекс товарооборота рассчитаем по формуле
= (0,5*1500*1,01+6300*1,2*0,85+2500*2,45*0,97)/(1200*0,5+4200*1,2+2000*2,45)=
= 13125/10540=1,245, или 124,5 %
Товарооборот по трем видам увеличился на 24,5 %.
Прирост товарооборота всего составил:
13125-10540 = 2585
Изменение за счет увеличения физического объема:
14435-10540=3895
Изменение за счет снижения цен:
13125-14435 = -1310
ИТОГО: 3895-1310 = 2585
Задача 57.
Имеются следующие данные о реализации сельскохозяйственных продуктов на колхозных рынках двух городов в сентябре месяце:
|
|
Город
|
Товар
|
Продано, т
|
Средняя цена за 1 кг, д. е.
|
|
|
|
1994
|
1995
|
1994
|
1995
|
|
|
А
|
Мясо
|
70
|
61
|
10,0
|
15,0
|
|
|
Картофель
|
180
|
162
|
1,2
|
2,5
|
|
|
Б
|
Мясо
|
30
|
27
|
1,0
|
2,0
|
|
|
Картофель
|
282
|
300
|
0,7
|
2,0
|
|
|
1. Для города «А» определите:
1) индекс товарооборота;
2) общий индекс цен на проданные товары (среднее изменение
цен);
3) общий индекс физического объема товарооборота (количества
проданных товаров);
Покажите взаимосвязь исчисленных индексов.
2. Для двух городов вместе (по картофелю) вычислите:
индекс цен переменного состава (изменение средней цены);
индекс цен постоянного состава (среднее изменение цен);
индекс структурных сдвигов.
Решение:
Произведем дополнительные расчеты и представим в таблице
|
|
Наименование товаров
|
Продано, т
|
Средняя Цена , д.е.
|
Объем продаж в ценах базисного года
|
Объем продаж в ценах отчетного года
|
|
|
обозначение
|
q0
|
q1
|
р0
|
р1
|
р0 q0
|
р0 q1
|
q0 р1
|
q1 р1
|
|
|
Мясо
|
70
|
61
|
10,0
|
15,0
|
700
|
610
|
1050
|
915
|
|
|
Картофель
|
180
|
162
|
1,2
|
2,5
|
216
|
194,4
|
450
|
405
|
|
|
ИТОГО
|
|
|
|
|
916
|
804,4
|
1500
|
1320
|
|
|
1.1) Индекс товарооборота для города «А» рассчитаем по формуле
= 1320/916=1,441, или 144,1 %
Товарооборот по обоим видам в связи с увеличением цен увеличился на 44,1%.
2) общий индекс цен на проданные товары (среднее изменение цен)
рассчитаем по формуле
Y р = ? р1q1 / ? р0q1
Y р =1320 /804,4=1,641, или 164,1%
В среднем цены увеличились на 64,1 %.
3) общий индекс физического объема товарооборота (количества
проданных товаров) по формуле
= 804,4/916=0,878, или 87,8 %
В среднем объем снизился на 12,2 %.
Взаимосвязь индексов исчисляется: Y рq = Y р * Y q
Y рq = 1,641*0,878=1,441
2. Для двух городов вместе (по картофелю) вычислим:
Индекс цен переменного состава (изменение средней цены) рассчитаем по формуле
Yпер.сост. = ? р1q1 : ? р0q0
?q1 ?q0
Yпер.сост. = ((2,5*162+2*300)/(162+300))/ ((1,2*180+0,7*282)/(180+282))=2,431
Индекс цен постоянного состава (среднее изменение цен);
Yпост.сост. = ? р1q1 : ? р0q1
?q1 ?q1
Yпост.сост. = ((2,5*162+2*300)/(162+300))/ ((1,2*162+0,7*300)/(162+300))=2,485
Индекс структурных сдвигов рассчитаем по формуле
Y стр.сдв. = ? р0q1 : ? р0q0
?q1 ?q0
Yстр.сост. =((1,2*162+0,7*300)/(162+300))/ ((1,2*180+0,7*282)/(180+282))= 0,978
|
